実数 $x, y$ について、式 $4x^2 + 12y^2 - 12xy + 4x - 18y + 7$ の最小値、およびそのときの $x, y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ について、式 $4x^2 + 12y^2 - 12xy + 4x - 18y + 7$ の最小値、およびそのときの $x, y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を平方完成することによって最小値を求めます。

まず、$x$ について平方完成を行います。

\begin{align*} 4x^2 + 12y^2 - 12xy + 4x - 18y + 7 &= 4x^2 + (4-12y)x + 12y^2 - 18y + 7 \\ &= 4\left(x^2 + \left(1-3y\right)x \right) + 12y^2 - 18y + 7 \\ &= 4\left(x + \frac{1-3y}{2}\right)^2 - 4\left(\frac{1-3y}{2}\right)^2 + 12y^2 - 18y + 7 \\ &= 4\left(x + \frac{1-3y}{2}\right)^2 - (1 - 6y + 9y^2) + 12y^2 - 18y + 7 \\ &= 4\left(x + \frac{1-3y}{2}\right)^2 + 3y^2 - 12y + 6 \end{align*}

次に、$y$ について平方完成を行います。

\begin{align*} 4\left(x + \frac{1-3y}{2}\right)^2 + 3y^2 - 12y + 6 &= 4\left(x + \frac{1-3y}{2}\right)^2 + 3(y^2 - 4y) + 6 \\ &= 4\left(x + \frac{1-3y}{2}\right)^2 + 3(y-2)^2 - 3(2)^2 + 6 \\ &= 4\left(x + \frac{1-3y}{2}\right)^2 + 3(y-2)^2 - 12 + 6 \\ &= 4\left(x + \frac{1-3y}{2}\right)^2 + 3(y-2)^2 - 6 \end{align*}

$4\left(x + \frac{1-3y}{2}\right)^2 \geq 0$ かつ $3(y-2)^2 \geq 0$ であるから、最小値は $4\left(x + \frac{1-3y}{2}\right)^2 = 0$ かつ $3(y-2)^2 = 0$ のときに達成される。

$y-2 = 0$ より $y = 2$.

$x + \frac{1-3y}{2} = 0$ より $x = - \frac{1-3y}{2} = - \frac{1-3(2)}{2} = - \frac{-5}{2} = \frac{5}{2}$.

したがって、$x = \frac{5}{2}$ かつ $y = 2$ のとき、最小値は $-6$ である。

3. 最終的な答え

最小値: $-6$

$x = \frac{5}{2}$, $y = 2$