与えられた複素数の値を求めます。具体的には、$\cos{\frac{4}{3}\pi} - i \sin{\frac{4}{3}\pi}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた複素数の値を求めます。具体的には、$\cos{\frac{4}{3}\pi} - i \sin{\frac{4}{3}\pi}$ を計算します。

2. 解き方の手順

複素数の極形式 $z = r(\cos{\theta} + i \sin{\theta})$ を考えます。

今回は $\cos{\frac{4}{3}\pi} - i \sin{\frac{4}{3}\pi}$ なので、まず $\cos{\frac{4}{3}\pi}$ と $\sin{\frac{4}{3}\pi}$ の値を求めます。

$\frac{4}{3}\pi$ は第3象限の角であり、基準角は $\frac{4}{3}\pi - \pi = \frac{1}{3}\pi = \frac{\pi}{3}$ です。

第3象限では、$\cos$ は負、$\sin$ も負です。

よって、

$\cos{\frac{4}{3}\pi} = -\cos{\frac{\pi}{3}} = -\frac{1}{2}$

$\sin{\frac{4}{3}\pi} = -\sin{\frac{\pi}{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$\cos{\frac{4}{3}\pi} - i \sin{\frac{4}{3}\pi} = -\frac{1}{2} - i(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$