円 $x^2 + y^2 - 2y = 0$ と直線 $ax - y + 2a = 0$ が異なる2点P, Qで交わる。 (1) 円の中心の座標と半径を求める。 (2) 定数 $a$ のとりうる値の範囲を求める。 (3) PQの長さが $\sqrt{2}$ となる $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 - 2y = 0$ と直線 $ax - y + 2a = 0$ が異なる2点P, Qで交わる。

(1) 円の中心の座標と半径を求める。

(2) 定数 $a$ のとりうる値の範囲を求める。

(3) PQの長さが $\sqrt{2}$ となる $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を平方完成する。

$x^2 + y^2 - 2y = 0$

$x^2 + (y^2 - 2y + 1) = 1$

$x^2 + (y - 1)^2 = 1$

よって、円の中心の座標は (0, 1) で、半径は 1 である。

(2) 円の中心(0, 1)と直線 $ax - y + 2a = 0$ の距離 $d$ が、円の半径1より小さければよい。

点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|a(0) - 1 + 2a|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = \frac{|2a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}}$

$d < 1$ より

$\frac{|2a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}} < 1$

$|2a - 1| < \sqrt{a^2 + 1}$

両辺を2乗して、

$(2a - 1)^2 < a^2 + 1$

$4a^2 - 4a + 1 < a^2 + 1$

$3a^2 - 4a < 0$

$a(3a - 4) < 0$

$0 < a < \frac{4}{3}$

(3) PQの長さが $\sqrt{2}$ のとき、円の中心から弦PQまでの距離 $d$ を求める。

円の半径 $r = 1$ で、PQの長さが $\sqrt{2}$ である。PQの中点をMとすると、PM = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

直角三角形OPMについて、三平方の定理より、

$OP^2 = OM^2 + PM^2$

$1^2 = d^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2$

$1 = d^2 + \frac{2}{4}$

$1 = d^2 + \frac{1}{2}$

$d^2 = \frac{1}{2}$

$d = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$d = \frac{|2a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{(2a - 1)^2}{a^2 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$2(2a - 1)^2 = a^2 + 1$

$2(4a^2 - 4a + 1) = a^2 + 1$

$8a^2 - 8a + 2 = a^2 + 1$

$7a^2 - 8a + 1 = 0$

$(7a - 1)(a - 1) = 0$

$a = \frac{1}{7}, 1$

3. 最終的な答え

(1) 円の中心の座標：(0, 1), 半径：1

(2) $a$ の範囲：$0 < a < \frac{4}{3}$

(3) $a$ の値：$a = \frac{1}{7}, 1$