指数方程式・不等式を解く問題です。具体的には以下の4つの問題を解きます。 (1) $8^{2x} = 2 \cdot 2^x$ (2) $25^x < \frac{1}{125}$ (3) $3^{2x+1} + 2 \cdot 3^x - 1 = 0$ (4) $4^x - 6 \cdot 2^{x-1} + 2 < 0$

1. 問題の内容

指数方程式・不等式を解く問題です。具体的には以下の4つの問題を解きます。

(1) $8^{2x} = 2 \cdot 2^x$

(2) $25^x < \frac{1}{125}$

(3) $3^{2x+1} + 2 \cdot 3^x - 1 = 0$

(4) $4^x - 6 \cdot 2^{x-1} + 2 < 0$

2. 解き方の手順

(1) $8^{2x} = 2 \cdot 2^x$

まず、両辺を2の累乗で表します。

$8^{2x} = (2^3)^{2x} = 2^{6x}$

$2 \cdot 2^x = 2^{x+1}$

したがって、方程式は $2^{6x} = 2^{x+1}$ となります。

指数部分が等しいので、$6x = x+1$

$5x = 1$

$x = \frac{1}{5}$

(2) $25^x < \frac{1}{125}$

両辺を5の累乗で表します。

$25^x = (5^2)^x = 5^{2x}$

$\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}$

したがって、不等式は $5^{2x} < 5^{-3}$ となります。

底が1より大きいので、指数部分の大小関係も同様です。

$2x < -3$

$x < -\frac{3}{2}$

(3) $3^{2x+1} + 2 \cdot 3^x - 1 = 0$

$3^{2x+1} = 3^{2x} \cdot 3^1 = 3 \cdot (3^x)^2$

ここで、$t = 3^x$ とおくと、$t > 0$ であり、方程式は

$3t^2 + 2t - 1 = 0$ となります。

この2次方程式を解くと、

$(3t - 1)(t + 1) = 0$

$t = \frac{1}{3}, -1$

$t > 0$ より、$t = \frac{1}{3}$

$3^x = \frac{1}{3} = 3^{-1}$

したがって、$x = -1$

(4) $4^x - 6 \cdot 2^{x-1} + 2 < 0$

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$

$2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$

ここで、$t = 2^x$ とおくと、$t > 0$ であり、不等式は

$t^2 - 6 \cdot \frac{1}{2} t + 2 < 0$

$t^2 - 3t + 2 < 0$

この2次不等式を解くと、

$(t-1)(t-2) < 0$

$1 < t < 2$

$1 < 2^x < 2$

$2^0 < 2^x < 2^1$

底が1より大きいので、指数部分の大小関係も同様です。

$0 < x < 1$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{5}$

(2) $x < -\frac{3}{2}$

(3) $x = -1$

(4) $0 < x < 1$