$\tan \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めなさい。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ で、答えは有理化されたものとする。

1. 問題の内容

$\tan \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めなさい。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ で、答えは有理化されたものとする。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = \frac{1}{2}$ という条件から、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ を求める。

まず、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1}{2}$ である。

また、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という関係式がある。

$\sin \theta = \frac{1}{2} \cos \theta$ を $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$(\frac{1}{2} \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{1}{4} \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{5}{4} \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{4}{5}$

$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ の範囲では $\cos \theta \ge 0$ なので、

$\cos \theta = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

次に、$\sin \theta = \frac{1}{2} \cos \theta$ より、

$\sin \theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$