三角形ABCにおいて、$AB=12$であり、角Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。辺ABを5:4に内分する点をE、辺ACを5:6に内分する点をFとする。線分AD, CE, BFが1点で交わるとき、その交点をPとする。 (1) $\frac{DC}{BD}$を求める。 (2) 辺ACの長さを求める。 (3) $BP:PF$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=12$であり、角Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。辺ABを5:4に内分する点をE、辺ACを5:6に内分する点をFとする。線分AD, CE, BFが1点で交わるとき、その交点をPとする。

(1) $\frac{DC}{BD}$を求める。

(2) 辺ACの長さを求める。

(3) $BP:PF$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC$となる。よって、$\frac{DC}{BD} = \frac{AC}{AB}$である。

チェバの定理より、

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$

$AE:EB = 5:4$ より $\frac{AE}{EB} = \frac{5}{4}$

$CF:FA = 6:5$ より $\frac{CF}{FA} = \frac{6}{5}$

したがって、$\frac{5}{4} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{6}{5} = 1$

$\frac{BD}{DC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$\frac{DC}{BD} = \frac{3}{2}$

(2) (1)より$\frac{DC}{BD} = \frac{3}{2}$。また、$\frac{DC}{BD} = \frac{AC}{AB}$なので、

$\frac{3}{2} = \frac{AC}{12}$

$AC = \frac{3}{2} \cdot 12 = 18$

(3) メネラウスの定理を三角形ACFと直線BEについて適用する。

$\frac{AE}{EF} \cdot \frac{FB}{BC} \cdot \frac{CD}{DA} = 1$

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BP}{PF} \cdot \frac{FC}{CA}=1$

$\frac{5}{4} \cdot \frac{BP}{PF} \cdot \frac{6}{11} = 1$

$\frac{BP}{PF} = \frac{4}{5} \cdot \frac{11}{6} = \frac{22}{15}$

したがって、$BP:PF = 22:15$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{DC}{BD} = \frac{3}{2}$

(2) $AC = 18$

(3) $BP:PF = 22:15$