問題３：三角形ABCにおいて、AB=5, BC=4, CA=3とし、頂点Aにおける外角の二等分線と辺BCの延長との交点をQとする。このとき、CQの長さを求めよ。

1. 問題の内容

問題３：三角形ABCにおいて、AB=5, BC=4, CA=3とし、頂点Aにおける外角の二等分線と辺BCの延長との交点をQとする。このとき、CQの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

三角形の外角の二等分線の定理を利用します。

点Aにおける外角の二等分線が辺BCの延長と交わる点をQとすると、

$AB : AC = BQ : CQ$

が成り立ちます。

$AB = 5$, $AC = 3$, $BC = 4$ と問題文で与えられています。

$CQ = x$ とすると、$BQ = BC + CQ = 4 + x$となります。

したがって、$5 : 3 = (4+x) : x$ となり、比の性質から

$5x = 3(4+x)$

$5x = 12 + 3x$

$2x = 12$

$x = 6$

3. 最終的な答え

CQの長さは6です。