問題2：円に内接する四角形ABCDがあり、対角線の交点をPとします。PA=3, PB=x, PC=4, PD=8-xのとき、xの値を求めます。 問題3：△ABCにおいて、AB=5, BC=4, CA=3とし、頂点Aにおける外角の二等分線と辺BCの延長との交点をQとするとき、CQの長さを求めます。

1. 問題の内容

問題2：円に内接する四角形ABCDがあり、対角線の交点をPとします。PA=3, PB=x, PC=4, PD=8-xのとき、xの値を求めます。

問題3：△ABCにおいて、AB=5, BC=4, CA=3とし、頂点Aにおける外角の二等分線と辺BCの延長との交点をQとするとき、CQの長さを求めます。

2. 解き方の手順

問題2：

円に内接する四角形の対角線の交点に関する性質（方べきの定理）より、

$PA \cdot PC = PB \cdot PD$

という関係が成り立ちます。

与えられた値を代入すると、

$3 \cdot 4 = x \cdot (8-x)$

$12 = 8x - x^2$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

$(x - 2)(x - 6) = 0$

よって、$x = 2$ または $x = 6$

問題3：

三角形ABCにおいて、AB=5, BC=4, CA=3なので、$3^2 + 4^2 = 9+16 = 25 = 5^2$が成り立ち、△ABCは∠C=90°の直角三角形です。

頂点Aにおける外角の二等分線と辺BCの延長との交点をQとします。

外角の二等分線の性質より、

$AB : AC = BQ : CQ$

$5 : 3 = (4+CQ) : CQ$

$5CQ = 3(4+CQ)$

$5CQ = 12 + 3CQ$

$2CQ = 12$

$CQ = 6$

3. 最終的な答え

問題2：x = 2, 6

問題3：CQ = 6