正四角錐 O-ABCD があり、底面は一辺が 6cm の正方形である。OA = 9cm である。 (1) AE の長さを求める。 (2) 正四角錐の体積を求める。

1. 問題の内容

正四角錐 O-ABCD があり、底面は一辺が 6cm の正方形である。OA = 9cm である。

(1) AE の長さを求める。

(2) 正四角錐の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、正方形ABCDの対角線ACの長さを求める。

正方形の対角線の長さは、一辺の長さに $\sqrt{2}$ をかけたものなので、

$AC = 6\sqrt{2}$ cm となる。

点Eは対角線の交点なので、$AE = \frac{1}{2} AC$ である。

したがって、$AE = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ cm となる。

(2)

正四角錐の体積を求めるには、まず高さを求める必要がある。

高さ OE を求めるために、直角三角形 OAE を考える。

三平方の定理より、$OE^2 + AE^2 = OA^2$ なので、

$OE^2 = OA^2 - AE^2 = 9^2 - (3\sqrt{2})^2 = 81 - 18 = 63$

したがって、$OE = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$ cm となる。

正四角錐の体積は、$\frac{1}{3} \times$ (底面積) $\times$ (高さ) で求められる。

底面積は $6^2 = 36$ cm$^2$ である。

よって、正四角錐の体積は、

$\frac{1}{3} \times 36 \times 3\sqrt{7} = 36\sqrt{7}$ cm$^3$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $AE = 3\sqrt{2}$ cm

(2) 体積 = $36\sqrt{7}$ cm$^3$