$a>1$ とする。定義域が $1 \le x \le a$ である関数 $y = -x^2 + 6x - 3$ について、最大値を求める問題です。$1<a<[ア]$ のとき、$x=[イ]$ で、最大値 $[ウ]$ をとる。$[ア] \le a$ のとき、$x=[エ]$ で、最大値 $[オ]$ をとる。

1. 問題の内容

$a>1$ とする。定義域が $1 \le x \le a$ である関数 $y = -x^2 + 6x - 3$ について、最大値を求める問題です。$1<a<[ア]$ のとき、$x=[イ]$ で、最大値 $[ウ]$ をとる。$[ア] \le a$ のとき、$x=[エ]$ で、最大値 $[オ]$ をとる。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 6x - 3 = -(x^2 - 6x) - 3 = -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 3 = -(x - 3)^2 + 9 - 3 = -(x - 3)^2 + 6$

この関数は上に凸な放物線で、頂点は $(3, 6)$ です。したがって、最大値は $x=3$ のときに発生する可能性があります。

定義域は $1 \le x \le a$ であるため、場合分けが必要です。

(1) $1 < a < 3$ のとき

定義域内に頂点の $x$ 座標が含まれないため、$x=1$ で最大値をとる。

$y(1) = -1^2 + 6(1) - 3 = -1 + 6 - 3 = 2$

(2) $3 \le a$ のとき

定義域内に頂点の $x$ 座標が含まれるため、$x=3$ で最大値をとる。

$y(3) = -3^2 + 6(3) - 3 = -9 + 18 - 3 = 6$

次に、$1 < a < 3$ の場合に、頂点の $x$ 座標 $x=3$ が定義域に含まれないことを確認します。この場合、定義域内で $x$ が大きくなるほど $y$ は小さくなるので、$x=1$ で最大値をとります。このとき最大値は $2$ です。

$3 \le a$ の場合は、頂点の $x$ 座標 $x=3$ が定義域に含まれるため、$x=3$ で最大値をとります。このとき最大値は $6$ です。

したがって、$1 < a < 3$ のとき、$x=a$ で最大値を取ることはありません。最大値は $x=1$ のとき、$y=2$です。

$3 \le a$ のとき、$x=3$ で最大値 $6$ を取ります。

よって、$1 < a < 3$ のとき、$x=1$ で、最大値 $2$ をとる。

$3 \le a$ のとき、$x=3$ で、最大値 $6$ をとる。

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 1

ウ: 2

エ: 3

オ: 6