関数 $f(x) = x^2 - 4\log(x^2 + 2x + 2)$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 4\log(x^2 + 2x + 2)$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して、極値を求めます。

$f'(x) = 2x - 4\frac{2x+2}{x^2+2x+2} = 2x - \frac{8(x+1)}{x^2+2x+2}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を探します。

$2x = \frac{8(x+1)}{x^2+2x+2}$

$x(x^2+2x+2) = 4(x+1)$

$x^3 + 2x^2 + 2x = 4x+4$

$x^3 + 2x^2 - 2x - 4 = 0$

$x^2(x+2) - 2(x+2) = 0$

$(x^2 - 2)(x+2) = 0$

$x = -2, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$

$x = -2$ のとき、

$f(-2) = (-2)^2 - 4\log((-2)^2 + 2(-2) + 2) = 4 - 4\log(4-4+2) = 4 - 4\log(2)$

$x = \sqrt{2}$ のとき、

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 - 4\log((\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 2) = 2 - 4\log(4 + 2\sqrt{2})$

$x = -\sqrt{2}$ のとき、

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^2 - 4\log((-\sqrt{2})^2 + 2(-\sqrt{2}) + 2) = 2 - 4\log(4 - 2\sqrt{2})$

$x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1 > 0$ なので、すべての実数 $x$ に対して $\log(x^2+2x+2)$ は定義できます。

ここで、$x = 0$ の時の $f(x)$ の値を計算すると、

$f(0) = 0^2 - 4\log(0^2 + 2(0) + 2) = -4\log(2)$.

$x = -1$ の時の $f(x)$ の値を計算すると、

$f(-1) = (-1)^2 - 4\log((-1)^2 + 2(-1) + 2) = 1 - 4\log(1 - 2 + 2) = 1 - 4\log(1) = 1 - 0 = 1$.

$x = \sqrt{2}$ と $x = -\sqrt{2}$ における値を比較してみます。

$f(\sqrt{2}) = 2 - 4\log(4 + 2\sqrt{2})$

$f(-\sqrt{2}) = 2 - 4\log(4 - 2\sqrt{2})$

ここで、$4 + 2\sqrt{2} > 4 - 2\sqrt{2}$ なので、$\log(4 + 2\sqrt{2}) > \log(4 - 2\sqrt{2})$.

よって、$f(\sqrt{2}) < f(-\sqrt{2})$.

$f(-2) = 4 - 4\log(2) = 4 + f(0) < f(0)$

$f(x) = x^2 - 4\log(x^2 + 2x + 2)$

$f(-1) = 1 - 4\log(1) = 1$

$f(1) = 1 - 4\log(1+2+2) = 1 - 4\log(5)$.

$x=0$付近で最小値を取りそう。

$x^2+2x+2 = (x+1)^2+1$

微分した式 $f'(x) = 2x - \frac{8(x+1)}{x^2+2x+2}$ において、

$x = -1$ で $f'(-1) = -2 - 0 = -2$. よって、$x=-1$ の付近では $f(x)$ は減少する。

$f(-1) = 1$ を基点に考えると、$f(0) = -4\log(2) \approx -4 * 0.693 = -2.77$.

$f(1) = 1 - 4\log(5) \approx 1 - 4 * 1.6 = -5.4$.

$x^2+2x+2 = (x+1)^2+1$.

$f(x) = x^2 - 4\log((x+1)^2+1)$.

$f'(x) = 2x - 4\frac{2(x+1)}{(x+1)^2+1} = 2x - \frac{8(x+1)}{(x+1)^2+1}$

$f'(x) = 0$ より、 $x((x+1)^2+1) = 4(x+1)$.

$x(x^2+2x+1+1) = 4x+4$

$x^3+2x^2+2x = 4x+4$

$x^3+2x^2-2x-4 = 0$

$(x+2)(x^2-2) = 0$

$x=-2, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$

$f(\sqrt{2}) = 2-4\log(4+2\sqrt{2}) = 2-4\log(4+2*1.41) = 2-4\log(6.82) = 2-4*0.83 = 2-3.32 = -1.32$

3. 最終的な答え

最小値は $2-4\log(4+2\sqrt{2})$。

空欄を埋めることを考えると、

$f(x) = x^2 - 4\log(x^2+2x+2) = x^2 - 4\log((x+1)^2+1)$

ここで、$t=x+1$と置換すると、$f(x) = (t-1)^2 - 4\log(t^2+1) = t^2 - 2t + 1 - 4\log(t^2+1)$.

最小値を与える$x$は$\sqrt{2}$であったので、これを使って、

$f(\sqrt{2}) = 2 - 4\log(4+2\sqrt{2})$. ここからどうすればよいかわかりません。

問題文の意味が良く分かりません。回答できません。