定積分 $\int_{0}^{\pi} (x + \cos{x})^2 dx$ を計算し、結果を $\frac{1}{\boxed{1}}\pi^{\boxed{2}} + \frac{1}{\boxed{3}}\pi - \boxed{4}$ の形式で表す問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\pi} (x + \cos{x})^2 dx$ を計算し、結果を $\frac{1}{\boxed{1}}\pi^{\boxed{2}} + \frac{1}{\boxed{3}}\pi - \boxed{4}$ の形式で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分の中の関数 $(x + \cos{x})^2$ を展開します。

$(x + \cos{x})^2 = x^2 + 2x\cos{x} + \cos^2{x}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\pi} (x + \cos{x})^2 dx = \int_{0}^{\pi} (x^2 + 2x\cos{x} + \cos^2{x}) dx$

これを３つの積分に分けます。

$\int_{0}^{\pi} x^2 dx + 2\int_{0}^{\pi} x\cos{x} dx + \int_{0}^{\pi} \cos^2{x} dx$

それぞれの積分を計算します。

1. $\int_{0}^{\pi} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi^3}{3}$

2. $\int_{0}^{\pi} x\cos{x} dx$ は部分積分を用います。

$u = x$, $dv = \cos{x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = \sin{x}$ となります。

$\int_{0}^{\pi} x\cos{x} dx = [x\sin{x}]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \sin{x} dx = (\pi\sin{\pi} - 0\sin{0}) - [-\cos{x}]_{0}^{\pi} = 0 - (-\cos{\pi} + \cos{0}) = - (1 + 1) = -2$

よって、 $2\int_{0}^{\pi} x\cos{x} dx = -4$

3. $\int_{0}^{\pi} \cos^2{x} dx$ は $\cos^2{x} = \frac{1 + \cos{2x}}{2}$ を用います。

$\int_{0}^{\pi} \cos^2{x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1 + \cos{2x}}{2} dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} (1 + \cos{2x}) dx = \frac{1}{2}\left[x + \frac{\sin{2x}}{2}\right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2}\left[(\pi + \frac{\sin{2\pi}}{2}) - (0 + \frac{\sin{0}}{2})\right] = \frac{\pi}{2}$

したがって、

$\int_{0}^{\pi} (x + \cos{x})^2 dx = \frac{\pi^3}{3} - 4 + \frac{\pi}{2} = \frac{1}{3}\pi^3 + \frac{1}{2}\pi - 4$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}\pi^{3} + \frac{1}{2}\pi - 4$