以下の2つの定積分を求める問題です。 (1) $\int_{1}^{e} \frac{(\log x)^2}{x} dx$ (2) $\int_{0}^{1} x\sqrt{4-x^2} dx$

はい、承知いたしました。問題の解き方を説明します。

1. 問題の内容

以下の2つの定積分を求める問題です。

(1) $\int_{1}^{e} \frac{(\log x)^2}{x} dx$

(2) $\int_{0}^{1} x\sqrt{4-x^2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{e} \frac{(\log x)^2}{x} dx$ の場合

* $\log x = t$ と置換します。

* すると、$\frac{1}{x} dx = dt$ となります。

* 積分の範囲も変わります。$x=1$ のとき $t = \log 1 = 0$、$x=e$ のとき $t = \log e = 1$。

* したがって、積分は $\int_{0}^{1} t^2 dt$ となります。

* これを計算すると、$\left[ \frac{1}{3} t^3 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} (1^3 - 0^3) = \frac{1}{3}$ となります。

(2) $\int_{0}^{1} x\sqrt{4-x^2} dx$ の場合

* $4-x^2 = t$ と置換します。

* すると、$-2x dx = dt$ より、$x dx = -\frac{1}{2} dt$ となります。

* 積分の範囲も変わります。$x=0$ のとき $t = 4 - 0^2 = 4$、$x=1$ のとき $t = 4 - 1^2 = 3$。

* したがって、積分は $\int_{4}^{3} \sqrt{t} (-\frac{1}{2}) dt = -\frac{1}{2} \int_{4}^{3} t^{\frac{1}{2}} dt$ となります。

* 積分の順序を入れ替えると、$\frac{1}{2} \int_{3}^{4} t^{\frac{1}{2}} dt$ となります。

* これを計算すると、$\frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} \right]_{3}^{4} = \frac{1}{3} \left[ t\sqrt{t} \right]_{3}^{4} = \frac{1}{3}(4\sqrt{4} - 3\sqrt{3}) = \frac{1}{3}(8 - 3\sqrt{3})$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}$

(2) $\frac{8-3\sqrt{3}}{3}$