平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを2:1に内分する点をE、辺ADの中点をFとする。線分EDと線分CFの交点をKとするとき、ベクトル$\vec{AK}$を$\vec{AB} = \vec{b}$、$\vec{AD} = \vec{d}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを2:1に内分する点をE、辺ADの中点をFとする。線分EDと線分CFの交点をKとするとき、ベクトル$\vec{AK}$を$\vec{AB} = \vec{b}$、$\vec{AD} = \vec{d}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点Kが線分ED上にあることから、実数$s$を用いて

$\vec{AK} = (1-s)\vec{AE} + s\vec{AD}$

と表せる。$\vec{AE} = \frac{2}{3}\vec{AB} = \frac{2}{3}\vec{b}$なので、

$\vec{AK} = (1-s)\frac{2}{3}\vec{b} + s\vec{d} = \frac{2(1-s)}{3}\vec{b} + s\vec{d}$

次に、点Kが線分CF上にあることから、実数$t$を用いて

$\vec{AK} = (1-t)\vec{AC} + t\vec{AF}$

と表せる。$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{b} + \vec{d}$、$\vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{d}$なので、

$\vec{AK} = (1-t)(\vec{b} + \vec{d}) + t\frac{1}{2}\vec{d} = (1-t)\vec{b} + (1-t+\frac{t}{2})\vec{d} = (1-t)\vec{b} + (1-\frac{t}{2})\vec{d}$

$\vec{b}$と$\vec{d}$は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{2(1-s)}{3} = 1-t$

$s = 1-\frac{t}{2}$

これらを解くと、

$\frac{2(1-(1-\frac{t}{2}))}{3} = 1-t$

$\frac{2\cdot\frac{t}{2}}{3} = 1-t$

$\frac{t}{3} = 1-t$

$t = 3 - 3t$

$4t = 3$

$t = \frac{3}{4}$

$s = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$

よって、

$\vec{AK} = (1-\frac{3}{4})\vec{b} + (1-\frac{3}{8})\vec{d} = \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{5}{8}\vec{d}$

または

$\vec{AK} = \frac{2(1-\frac{5}{8})}{3}\vec{b} + \frac{5}{8}\vec{d} = \frac{2\cdot\frac{3}{8}}{3}\vec{b} + \frac{5}{8}\vec{d} = \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{5}{8}\vec{d}$

3. 最終的な答え

$\vec{AK} = \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{5}{8}\vec{d}$