$\sqrt{2} \cos(2\theta - \frac{\pi}{4}) \geq 1$ を満たす $\theta$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$\sqrt{2} \cos(2\theta - \frac{\pi}{4}) \geq 1$ を満たす $\theta$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺を $\sqrt{2}$ で割ります。

$$\cos(2\theta - \frac{\pi}{4}) \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$\cos(x) \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $x$ の範囲を考えます。$0 \leq x < 2\pi$ の範囲では、

$$0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}, \quad \frac{7\pi}{4} \leq x < 2\pi$$

となります。一般角で表すと、$n$を整数として

$$2n\pi - \frac{\pi}{4} \leq x \leq 2n\pi + \frac{\pi}{4}$$

したがって、

$$2n\pi - \frac{\pi}{4} \leq 2\theta - \frac{\pi}{4} \leq 2n\pi + \frac{\pi}{4}$$

各辺に $\frac{\pi}{4}$ を加えます。

$$2n\pi \leq 2\theta \leq 2n\pi + \frac{\pi}{2}$$

各辺を2で割ります。

$$n\pi \leq \theta \leq n\pi + \frac{\pi}{4}$$

3. 最終的な答え

$n$を整数として、$\theta$ の範囲は

$$n\pi \leq \theta \leq n\pi + \frac{\pi}{4}$$