(3) $2\sin^2\theta + 5\cos\theta < -1$ を $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で解け。 (4) $\sqrt{2}\cos(2\theta - \frac{\pi}{4}) \ge 1$ を $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で解け。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。ここでは、番号3と4の問題を解きます。

1. 問題の内容

(3) $2\sin^2\theta + 5\cos\theta < -1$ を $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で解け。

(4) $\sqrt{2}\cos(2\theta - \frac{\pi}{4}) \ge 1$ を $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で解け。

2. 解き方の手順

(3)

まず、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を用いて、不等式を$\cos\theta$ だけの式に変形します。

$2(1-\cos^2\theta) + 5\cos\theta < -1$

$2 - 2\cos^2\theta + 5\cos\theta + 1 < 0$

$-2\cos^2\theta + 5\cos\theta + 3 < 0$

$2\cos^2\theta - 5\cos\theta - 3 > 0$

次に、この2次不等式を解くために、左辺を因数分解します。

$(2\cos\theta + 1)(\cos\theta - 3) > 0$

ここで、$\cos\theta$ の取りうる範囲は $-1 \le \cos\theta \le 1$ であるため、$\cos\theta - 3$ は常に負です。したがって、不等式を満たすためには、$2\cos\theta + 1 < 0$ でなければなりません。

$2\cos\theta + 1 < 0$

$\cos\theta < -\frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\cos\theta < -\frac{1}{2}$ を満たす$\theta$ の範囲は、$\frac{2}{3}\pi < \theta < \frac{4}{3}\pi$ です。

(4)

$\sqrt{2}\cos(2\theta - \frac{\pi}{4}) \ge 1$

$\cos(2\theta - \frac{\pi}{4}) \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$

$2\theta - \frac{\pi}{4} = x$ とおくと

$\cos(x) \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$

$-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$

$x$ の範囲を元に戻すと

$-\frac{\pi}{4} \le 2\theta - \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{4}$

$-\frac{\pi}{4} \le 2\theta - \frac{\pi}{4}$ より $0 \le 2\theta$, つまり $0 \le \theta$

$2\theta - \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{4}$ より $2\theta \le \frac{\pi}{2}$, つまり $\theta \le \frac{\pi}{4}$

したがって、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}$

また、$2\pi$ の周期性を考慮すると

$2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \le 2\theta - \frac{\pi}{4} \le 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$

$\frac{7\pi}{4} \le 2\theta - \frac{\pi}{4}$ より $\frac{8\pi}{4} = 2\pi \le 2\theta$, つまり $\pi \le \theta$

$2\theta - \frac{\pi}{4} \le \frac{9\pi}{4}$ より $2\theta \le \frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2}$, つまり $\theta \le \frac{5\pi}{4}$

したがって、$\pi \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{2}{3}\pi < \theta < \frac{4}{3}\pi$

(4) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}$, $\pi \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$