$0 \le x \le \pi$ のとき、不等式 $\sin 2x + \sqrt{3} \sin x - \sqrt{3} \cos x > \frac{3}{2}$ を解く。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \pi$ のとき、不等式 $\sin 2x + \sqrt{3} \sin x - \sqrt{3} \cos x > \frac{3}{2}$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を用いて、不等式を変形する。

$$2 \sin x \cos x + \sqrt{3} \sin x - \sqrt{3} \cos x > \frac{3}{2}$$

両辺に 2 をかける。

$$4 \sin x \cos x + 2\sqrt{3} \sin x - 2\sqrt{3} \cos x > 3$$

$2\sqrt{3} \sin x - 2\sqrt{3} \cos x$ の部分を三角関数の合成を用いて変形する。

$2\sqrt{3} \sin x - 2\sqrt{3} \cos x = 4\sqrt{3} \left( \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x \right)$

$= 4\sqrt{3} \left( \sin x \cos \left(\frac{\pi}{6} \right) - \cos x \sin \left(\frac{\pi}{6} \right) \right)$

$= 4\sqrt{3} \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right)$

したがって、不等式は次のようになる。

$$4 \sin x \cos x + 4\sqrt{3} \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) > 3$$

$2\sin x \cos x = \sin 2x$ なので、

$$2 \sin 2x + 2\sqrt{3} (\sin x - \cos x) > 3$$

$\sqrt{3}\sin x - \sqrt{3}\cos x = 2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x)=2\sqrt{3}\sin(x - \pi/6)$ より、

$2\sin 2x + 2\sqrt{3}\sin(x - \frac{\pi}{6}) > 3$

うまく因数分解できないので、別の方法を考える。

元の式を以下のように変形する。

$\sin 2x + \sqrt{3} \sin x - \sqrt{3} \cos x > \frac{3}{2}$

$\sin 2x + \sqrt{3} (\sin x - \cos x) > \frac{3}{2}$

$\sin 2x + \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \sin (x - \frac{\pi}{4}) > \frac{3}{2}$

$\sin 2x + \sqrt{6} \sin (x - \frac{\pi}{4}) > \frac{3}{2}$

$x = \frac{\pi}{2}$ を代入すると、$\sin \pi + \sqrt{3}\sin \frac{\pi}{2} - \sqrt{3}\cos \frac{\pi}{2} = 0 + \sqrt{3} - 0 = \sqrt{3} > \frac{3}{2} = 1.5$ なので、$x = \pi/2$ は解である。

元の不等式を以下のように変形する。

$2\sin x \cos x + \sqrt{3}\sin x - \sqrt{3}\cos x > \frac{3}{2}$

$2\sin x \cos x + \sqrt{3}(\sin x - \cos x) > \frac{3}{2}$

$f(x) = \sin 2x + \sqrt{3} \sin x - \sqrt{3} \cos x$ とおく。

$f(\frac{\pi}{2}) = 0 + \sqrt{3} - 0 = \sqrt{3} \approx 1.732 > \frac{3}{2} = 1.5$

$f(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$

したがって、$x = \frac{\pi}{3}$ は不等式を満たさない。

$x = \frac{\pi}{2}$ の近傍が不等式を満たす解である。

$x = \frac{\pi}{6}$ を代入すると、$\sin \frac{\pi}{3} + \sqrt{3}\sin \frac{\pi}{6} - \sqrt{3}\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} = \sqrt{3} - \frac{3}{2} > 0$

$x = \frac{5\pi}{6}$ を代入すると、$\sin \frac{5\pi}{3} + \sqrt{3}\sin \frac{5\pi}{6} - \sqrt{3}\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}\frac{1}{2} - \sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

したがって、$\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2}$ および $\frac{\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{6}$ が解である可能性がある。

$\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6}$