与えられた2次関数の性質や、グラフの平行移動、不等式を解く問題です。具体的には以下の7つの問題があります。 (1) 2次関数 $y=2x^2+4x-3$ の頂点の座標を求める。 (2) 2次関数 $y=2x^2$ のグラフをx軸方向に3、y軸方向に-4だけ平行移動したグラフの方程式を求める。 (3) 2次関数 $y=-x^2+4x$ の最大値を求める。 (4) 2次関数 $y=3x^2-5x+1$ のグラフとx軸との共有点の個数を求める。 (5) 2次関数 $y=-2x^2+x-3$ のグラフとx軸との共有点の個数を求める。 (6) 2次不等式 $x^2-6x-16 \le 0$ の解を求める。 (7) 2次不等式 $x^2+x-6 > 0$ の解を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数の性質や、グラフの平行移動、不等式を解く問題です。具体的には以下の7つの問題があります。

(1) 2次関数 $y=2x^2+4x-3$ の頂点の座標を求める。

(2) 2次関数 $y=2x^2$ のグラフをx軸方向に3、y軸方向に-4だけ平行移動したグラフの方程式を求める。

(3) 2次関数 $y=-x^2+4x$ の最大値を求める。

(4) 2次関数 $y=3x^2-5x+1$ のグラフとx軸との共有点の個数を求める。

(5) 2次関数 $y=-2x^2+x-3$ のグラフとx軸との共有点の個数を求める。

(6) 2次不等式 $x^2-6x-16 \le 0$ の解を求める。

(7) 2次不等式 $x^2+x-6 > 0$ の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y=2x^2+4x-3 = 2(x^2+2x)-3 = 2(x^2+2x+1-1)-3 = 2(x+1)^2 -2 -3 = 2(x+1)^2 -5$ より、頂点の座標は $(-1, -5)$ です。

(2) $y=2x^2$ のグラフをx軸方向に3、y軸方向に-4だけ平行移動すると、$y+4 = 2(x-3)^2$ となり、$y = 2(x-3)^2 -4 = 2(x^2-6x+9)-4 = 2x^2-12x+18-4 = 2x^2-12x+14$ となります。

(3) $y=-x^2+4x = -(x^2-4x) = -(x^2-4x+4-4) = -(x-2)^2+4$ より、最大値は4です。

(4) $y=3x^2-5x+1$ の判別式を計算します。$D=(-5)^2 - 4(3)(1) = 25-12=13>0$ なので、x軸との共有点は2個です。

(5) $y=-2x^2+x-3$ の判別式を計算します。$D=(1)^2 - 4(-2)(-3) = 1-24=-23<0$ なので、x軸との共有点は0個です。

(6) $x^2-6x-16 \le 0$ を因数分解すると、$(x-8)(x+2) \le 0$ となります。よって、$-2 \le x \le 8$ です。

(7) $x^2+x-6 > 0$ を因数分解すると、$(x+3)(x-2) > 0$ となります。よって、$x < -3$ または $x > 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) $(-1, -5)$

(2) $y = 2x^2-12x+14$

(3) $4$

(4) $2$

(5) $0$

(6) $-2 \le x \le 8$

(7) $x < -3$ または $x > 2$