この問題は、2次関数の様々な性質に関する問題です。具体的には、 (1) 3点を通る2次関数を求める問題 (2) 3点を通る2次関数を求める問題 (3) 定義域が制限された2次関数の最大値が与えられたとき、定数の値を求め、その時の最小値を求める問題 (4) 定義域が制限された2次関数の最小値が与えられたとき、定数の値を求め、その時の最大値を求める問題 (5) 2次関数のグラフがx軸と接するときの定数の値を求める問題 です。

1. 問題の内容

この問題は、2次関数の様々な性質に関する問題です。具体的には、

(1) 3点を通る2次関数を求める問題

(2) 3点を通る2次関数を求める問題

(3) 定義域が制限された2次関数の最大値が与えられたとき、定数の値を求め、その時の最小値を求める問題

(4) 定義域が制限された2次関数の最小値が与えられたとき、定数の値を求め、その時の最大値を求める問題

(5) 2次関数のグラフがx軸と接するときの定数の値を求める問題

です。

2. 解き方の手順

(1) 3点 (1, 0), (0, 1), (-2, 15) を通る2次関数を求める。

2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

(0, 1)を通るので、$c = 1$。

(1, 0)を通るので、$a + b + 1 = 0$。

(-2, 15)を通るので、$4a - 2b + 1 = 15$。

これを解くと、

$a + b = -1$

$4a - 2b = 14$

$2a - b = 7$

$3a = 6$ より、$a = 2$

$b = -3$

よって、$y = 2x^2 - 3x + 1$。

(2) 3点 (3, 0), (0, -9), (-1, -4) を通る2次関数を求める。

2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

(0, -9)を通るので、$c = -9$。

(3, 0)を通るので、$9a + 3b - 9 = 0$。

(-1, -4)を通るので、$a - b - 9 = -4$。

これを解くと、

$9a + 3b = 9$

$a - b = 5$

$3a + b = 3$

$a - b = 5$

$4a = 8$ より、$a = 2$

$b = -3$

よって、$y = 2x^2 - 3x - 9$。

(3) 2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ (-2 ≤ x ≤ 1) の最大値が7のとき、定数aの値を求め、その時の最小値を求める。

$y = (x + 1)^2 - 1 + 2a$

軸は $x = -1$ で、-2 ≤ x ≤ 1の範囲に含まれる。

$x = 1$ のとき最大値を取るので、

$1 + 2 + 2a = 7$

$2a = 4$

$a = 2$

このとき、$y = (x + 1)^2 - 1 + 4 = (x + 1)^2 + 3$

$x = -1$ で最小値を取るので、最小値は 3。

(4) 2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ (1 ≤ x ≤ 4) の最小値が-3のとき、定数aの値を求め、その時の最大値を求める。

$y = (x - 3)^2 - 9 + a$

軸は $x = 3$ で、1 ≤ x ≤ 4の範囲に含まれる。

$x = 3$ で最小値を取るので、

$-9 + a = -3$

$a = 6$

このとき、$y = (x - 3)^2 - 9 + 6 = (x - 3)^2 - 3$

$x = 1$ で最大値を取るので、最大値は $(1 - 3)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$。

(5) 2次関数 $y = x^2 - 2(a - 1)x + 4$ のグラフがx軸と接するとき、定数aの値を求める。

判別式 $D = 0$ であればよい。

$D = 4(a - 1)^2 - 4(4) = 0$

$(a - 1)^2 = 4$

$a - 1 = ±2$

$a = 3, -1$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 3x + 1$

(2) $y = 2x^2 - 3x - 9$

(3) $a = 2$, 最小値は $3$

(4) $a = 6$, 最大値は $1$

(5) $a = 3, -1$