円 $x^2 + y^2 = 1$ 上を動く点Aと、点B(0, -3)、点C(4, 0) を頂点とする三角形ABCの重心Gの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ 上を動く点Aと、点B(0, -3)、点C(4, 0) を頂点とする三角形ABCの重心Gの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. 点Aの座標を $(x_A, y_A)$ とおきます。点Aは円 $x^2 + y^2 = 1$ 上にあるので、$x_A^2 + y_A^2 = 1$ が成り立ちます。

2. 三角形ABCの重心Gの座標を $(x, y)$ とおきます。重心の座標は、各頂点の座標の平均で求められるので、以下の式が成り立ちます。

$x = \frac{x_A + 0 + 4}{3}$

$y = \frac{y_A - 3 + 0}{3}$

3. 上記の式を $x_A$ と $y_A$ について解きます。

$x_A = 3x - 4$

$y_A = 3y + 3$

4. $x_A^2 + y_A^2 = 1$ に $x_A$ と $y_A$ の式を代入します。

$(3x - 4)^2 + (3y + 3)^2 = 1$

5. 式を展開し、整理します。

$9x^2 - 24x + 16 + 9y^2 + 18y + 9 = 1$

$9x^2 + 9y^2 - 24x + 18y + 24 = 0$

$x^2 + y^2 - \frac{8}{3}x + 2y + \frac{8}{3} = 0$

6. 平方完成をして、円の方程式の形にします。

$(x - \frac{4}{3})^2 - (\frac{4}{3})^2 + (y + 1)^2 - 1 + \frac{8}{3} = 0$

$(x - \frac{4}{3})^2 + (y + 1)^2 = \frac{16}{9} + 1 - \frac{8}{3}$

$(x - \frac{4}{3})^2 + (y + 1)^2 = \frac{16}{9} + \frac{9}{9} - \frac{24}{9}$

$(x - \frac{4}{3})^2 + (y + 1)^2 = \frac{1}{9}$

3. 最終的な答え

重心Gの軌跡は、中心 $(\frac{4}{3}, -1)$ 、半径 $\frac{1}{3}$ の円です。

$(x - \frac{4}{3})^2 + (y + 1)^2 = \frac{1}{9}$