次の定積分を計算してください。 $\int_{-1}^{2}(9x^2 + 8x + 7)dx + \int_{2}^{3}(9x^2 + 8x + 7)dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算してください。

$\int_{-1}^{2}(9x^2 + 8x + 7)dx + \int_{2}^{3}(9x^2 + 8x + 7)dx$

2. 解き方の手順

定積分の性質より、積分区間が連続していれば、積分をまとめることができます。

$\int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{b}^{c} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx$

したがって、

$\int_{-1}^{2}(9x^2 + 8x + 7)dx + \int_{2}^{3}(9x^2 + 8x + 7)dx = \int_{-1}^{3}(9x^2 + 8x + 7)dx$

次に、不定積分を計算します。

$\int (9x^2 + 8x + 7)dx = 9\int x^2 dx + 8\int x dx + 7\int dx = 9(\frac{x^3}{3}) + 8(\frac{x^2}{2}) + 7x + C = 3x^3 + 4x^2 + 7x + C$

定積分を計算します。

$\int_{-1}^{3}(9x^2 + 8x + 7)dx = [3x^3 + 4x^2 + 7x]_{-1}^{3} = (3(3)^3 + 4(3)^2 + 7(3)) - (3(-1)^3 + 4(-1)^2 + 7(-1))$

$= (3(27) + 4(9) + 21) - (3(-1) + 4(1) - 7) = (81 + 36 + 21) - (-3 + 4 - 7) = (138) - (-6) = 138 + 6 = 144$

3. 最終的な答え

144