与えられた定積分の値を求めます。定積分は以下の通りです。 $\int_{-1}^{1} (-6x^2+12x+7) dx + \int_{1}^{2} (-6x^2+12x+7) dx + \int_{2}^{2} (-6x^2+12x+7) dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を求めます。定積分は以下の通りです。

$\int_{-1}^{1} (-6x^2+12x+7) dx + \int_{1}^{2} (-6x^2+12x+7) dx + \int_{2}^{2} (-6x^2+12x+7) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分区間を結合します。積分の性質より、

$\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$

したがって、

$\int_{-1}^{1} (-6x^2+12x+7) dx + \int_{1}^{2} (-6x^2+12x+7) dx = \int_{-1}^{2} (-6x^2+12x+7) dx$

また、$\int_{2}^{2} (-6x^2+12x+7) dx = 0$ であるため、

$\int_{-1}^{1} (-6x^2+12x+7) dx + \int_{1}^{2} (-6x^2+12x+7) dx + \int_{2}^{2} (-6x^2+12x+7) dx = \int_{-1}^{2} (-6x^2+12x+7) dx$

ここで、被積分関数 $-6x^2+12x+7$ の不定積分を求めます。

$\int (-6x^2+12x+7) dx = -6 \int x^2 dx + 12 \int x dx + 7 \int dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} + 12 \cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C = -2x^3 + 6x^2 + 7x + C$

したがって、定積分は

$\int_{-1}^{2} (-6x^2+12x+7) dx = [-2x^3 + 6x^2 + 7x]_{-1}^{2} = (-2(2)^3 + 6(2)^2 + 7(2)) - (-2(-1)^3 + 6(-1)^2 + 7(-1)) = (-16 + 24 + 14) - (2 + 6 - 7) = 22 - 1 = 21$

3. 最終的な答え

21