定積分 $\int_{1}^{-2} (-6x^2 - 6x + 5) dx$ を計算します。

解析学定積分積分多項式
2025/4/7

1. 問題の内容

定積分 12(6x26x+5)dx\int_{1}^{-2} (-6x^2 - 6x + 5) dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を求めます。
(6x26x+5)dx=6x2dx6xdx+5dx=6x336x22+5x+C=2x33x2+5x+C\int (-6x^2 - 6x + 5) dx = -6 \int x^2 dx - 6 \int x dx + 5 \int dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} - 6 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = -2x^3 - 3x^2 + 5x + C
ここで、CC は積分定数です。
次に、定積分を計算します。
12(6x26x+5)dx=[2x33x2+5x]12=(2(2)33(2)2+5(2))(2(1)33(1)2+5(1))=(2(8)3(4)10)(23+5)=(161210)(0)=60=6\int_{1}^{-2} (-6x^2 - 6x + 5) dx = [-2x^3 - 3x^2 + 5x]_{1}^{-2} = (-2(-2)^3 - 3(-2)^2 + 5(-2)) - (-2(1)^3 - 3(1)^2 + 5(1)) = (-2(-8) - 3(4) - 10) - (-2 - 3 + 5) = (16 - 12 - 10) - (0) = -6 - 0 = -6

3. 最終的な答え

-6

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