定積分 $\int_{-2}^{0} (9x^2 + 4x + 3) dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{0} (9x^2 + 4x + 3) dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $9x^2 + 4x + 3$ の不定積分を求めます。

$x^n$ の不定積分は $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ であることを用いると、

$\int (9x^2 + 4x + 3) dx = 9\int x^2 dx + 4\int x dx + 3\int 1 dx = 9\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} + 3x + C = 3x^3 + 2x^2 + 3x + C$

となります。（$C$ は積分定数）

次に、定積分の定義に従い、積分区間の上限と下限における不定積分の値を計算し、その差を求めます。

計算を簡単にするために、積分定数 $C$ は無視して構いません。

$F(x) = 3x^3 + 2x^2 + 3x$ とすると、

$F(0) = 3(0)^3 + 2(0)^2 + 3(0) = 0$

$F(-2) = 3(-2)^3 + 2(-2)^2 + 3(-2) = 3(-8) + 2(4) + (-6) = -24 + 8 - 6 = -22$

したがって、

$\int_{-2}^{0} (9x^2 + 4x + 3) dx = F(0) - F(-2) = 0 - (-22) = 22$

3. 最終的な答え

22