(4) 直角三角形ABCにおいて、辺の長さがAC=2, BC=4のとき、sinB, cosB, tanB, sinA, cosA, tanAの値を求める。 (5) $0^\circ < \theta < 90^\circ$において、$sin\theta = \frac{1}{3}$のとき、cosθとtanθの値を求める。 (6) 木の根元から水平に12m離れた地点から木の先端を見上げると、水平面とのなす角が25°であった。目の高さが地面から1.5mだとすると、木の高さは何mか求める。ただし、$sin25^\circ = 0.42$, $cos25^\circ = 0.91$, $tan25^\circ = 0.47$とする。

1. 問題の内容

(4) 直角三角形ABCにおいて、辺の長さがAC=2, BC=4のとき、sinB, cosB, tanB, sinA, cosA, tanAの値を求める。

(5) $0^\circ < \theta < 90^\circ$において、$sin\theta = \frac{1}{3}$のとき、cosθとtanθの値を求める。

(6) 木の根元から水平に12m離れた地点から木の先端を見上げると、水平面とのなす角が25°であった。目の高さが地面から1.5mだとすると、木の高さは何mか求める。ただし、$sin25^\circ = 0.42$, $cos25^\circ = 0.91$, $tan25^\circ = 0.47$とする。

2. 解き方の手順

(4) まず、斜辺ABの長さを三平方の定理を用いて求める。

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

三角比の定義より、

$sinB = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$cosB = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$tanB = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$sinA = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$cosA = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$tanA = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{2} = 2$

(5) $sin\theta = \frac{1}{3}$のとき、

$sin^2\theta + cos^2\theta = 1$より、

$cos^2\theta = 1 - sin^2\theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$0^\circ < \theta < 90^\circ$より、$cos\theta > 0$なので、

$cos\theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(6) 木の先端から目の高さまでの距離をhとする。

$tan25^\circ = \frac{h}{12}$

$h = 12 \times tan25^\circ = 12 \times 0.47 = 5.64$

木の高さは、目の高さ1.5mを足して、

$5.64 + 1.5 = 7.14$

小数第2位を四捨五入すると、7.1m

3. 最終的な答え

(4) $sinB = \frac{\sqrt{5}}{5}, cosB = \frac{2\sqrt{5}}{5}, tanB = \frac{1}{2}, sinA = \frac{2\sqrt{5}}{5}, cosA = \frac{\sqrt{5}}{5}, tanA = 2$

(5) $cos\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}, tan\theta = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(6) 7.1 m