問題は、三角比に関する6つの小問から構成されています。 (1) $0^\circ < \theta < 90^\circ$ のとき、$\sin(90^\circ - \theta)$ の値を求める。 (2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\sin(180^\circ - \theta)$ の値を求める。 (3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の値をすべて求める。 (4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 45^\circ$、外接円の半径が $\sqrt{6}$ のとき、$BC$ の長さを求める。 (5) $\triangle ABC$ において、$AB = 3$, $BC = 2$, $\angle B = 60^\circ$ のとき、$AC$ の長さを求める。 (6) $\triangle ABC$ において、$AB = 5$, $AC = 8$, $\angle A = 60^\circ$ のとき、この三角形の面積を求める式を完成させる。

1. 問題の内容

問題は、三角比に関する6つの小問から構成されています。

(1) $0^\circ < \theta < 90^\circ$ のとき、$\sin(90^\circ - \theta)$ の値を求める。

(2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\sin(180^\circ - \theta)$ の値を求める。

(3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の値をすべて求める。

(4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 45^\circ$、外接円の半径が $\sqrt{6}$ のとき、$BC$ の長さを求める。

(5) $\triangle ABC$ において、$AB = 3$, $BC = 2$, $\angle B = 60^\circ$ のとき、$AC$ の長さを求める。

(6) $\triangle ABC$ において、$AB = 5$, $AC = 8$, $\angle A = 60^\circ$ のとき、この三角形の面積を求める式を完成させる。

2. 解き方の手順

(1) $\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta$

(2) $\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta$

(3) $\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = 30^\circ$ と $\theta = 150^\circ$

(4) 正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = 2R$。$R = \sqrt{6}$なので、

$BC = 2R \sin A = 2\sqrt{6} \sin 45^\circ = 2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{3}$

(5) 余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos B = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cos 60^\circ = 9 + 4 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$

$AC = \sqrt{7}$

(6) 三角形の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \sin A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、求める式は $\frac{1}{2} \times 5 \times 8 \sin 60^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta$

(2) $\sin \theta$

(3) $\theta = 30^\circ, 150^\circ$

(4) $BC = 2\sqrt{3}$

(5) $AC = \sqrt{7}$

(6) $\frac{1}{2} \times 5 \times 8\sin 60^\circ$