導関数 $F'(x) = -9x^2 + 4x - 1$ と条件 $F(1) = 5$ を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

導関数 $F'(x) = -9x^2 + 4x - 1$ と条件 $F(1) = 5$ を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$F'(x)$ を積分して $F(x)$ を求めます。

$F(x) = \int F'(x) dx = \int (-9x^2 + 4x - 1) dx$

各項を積分します。

$\int -9x^2 dx = -9 \int x^2 dx = -9 \cdot \frac{x^3}{3} = -3x^3$

$\int 4x dx = 4 \int x dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2$

$\int -1 dx = -x$

したがって、

$F(x) = -3x^3 + 2x^2 - x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。次に、$F(1) = 5$ という条件を使って $C$ を求めます。

$F(1) = -3(1)^3 + 2(1)^2 - 1 + C = -3 + 2 - 1 + C = -2 + C$

$F(1) = 5$ なので、

$-2 + C = 5$

$C = 5 + 2 = 7$

したがって、$F(x)$ は

$F(x) = -3x^3 + 2x^2 - x + 7$

3. 最終的な答え

$F(x) = -3x^3 + 2x^2 - x + 7$