導関数 $F'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 2x$ と条件 $F(1) = 5$ が与えられたとき、関数 $F(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

導関数 $F'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 2x$ と条件 $F(1) = 5$ が与えられたとき、関数 $F(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$F'(x)$ を積分して $F(x)$ を求めます。

$F(x) = \int F'(x) dx = \int (4x^3 + 6x^2 - 2x) dx$

各項を積分します。

$\int 4x^3 dx = x^4 + C_1$

$\int 6x^2 dx = 2x^3 + C_2$

$\int -2x dx = -x^2 + C_3$

したがって、

$F(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 + C$ (ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3$ は積分定数)

次に、条件 $F(1) = 5$ を利用して積分定数 $C$ を求めます。

$F(1) = 1^4 + 2(1)^3 - (1)^2 + C = 1 + 2 - 1 + C = 2 + C$

$F(1) = 5$ より、$2 + C = 5$。

したがって、$C = 5 - 2 = 3$

したがって、求める関数 $F(x)$ は

$F(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 + 3$

3. 最終的な答え

$F(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 + 3$