与えられた関数 $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) $f(x)$ が微分可能であることを示す。 (2) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ が $x=0$ で連続でないことを示す。

1. 問題の内容

与えられた関数

$f(x) = \begin{cases}

x^2 \sin(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\

0 & (x = 0)

\end{cases}$

について、以下の2つの問いに答えます。

(1) $f(x)$ が微分可能であることを示す。

(2) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ が $x=0$ で連続でないことを示す。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が微分可能であることを示す。

$x \neq 0$ では、$f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x})$ は微分可能な関数である。

$x=0$ での微分可能性を調べるために、定義に従って微分係数を計算する。

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(\frac{1}{h}) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(\frac{1}{h})$

$-1 \leq \sin(\frac{1}{h}) \leq 1$ であるから、$-|h| \leq h \sin(\frac{1}{h}) \leq |h|$ となる。

$\lim_{h \to 0} -|h| = 0$ かつ $\lim_{h \to 0} |h| = 0$ であるから、はさみうちの原理より、$\lim_{h \to 0} h \sin(\frac{1}{h}) = 0$

したがって、$f'(0) = 0$ となり、$f(x)$ は $x=0$ で微分可能である。

$x \neq 0$ では、

$f'(x) = 2x \sin(\frac{1}{x}) + x^2 \cos(\frac{1}{x}) (-\frac{1}{x^2}) = 2x \sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x})$

(2) $f'(x)$ が $x=0$ で連続でないことを示す。

$f'(x) = \begin{cases}

2x \sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\

0 & (x = 0)

\end{cases}$

$f'(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 0} f'(x) = f'(0)$ が成立する必要がある。

$f'(0) = 0$ である。

$\lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} (2x \sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x}))$

$\lim_{x \to 0} 2x \sin(\frac{1}{x}) = 0$ であることは(1)と同様に示せる。

しかし、$\lim_{x \to 0} \cos(\frac{1}{x})$ は存在しない。

したがって、$\lim_{x \to 0} f'(x)$ は存在しないため、$f'(x)$ は $x=0$ で連続ではない。

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ は微分可能である。（証明は上記参照）

(2) $f'(x)$ は $x=0$ で連続ではない。（証明は上記参照）