導関数 $F'(x) = 9x^2 - 4x + 5$ と条件 $F(1) = 9$ を満たす関数 $F(x)$ を求める。

1. 問題の内容

導関数 $F'(x) = 9x^2 - 4x + 5$ と条件 $F(1) = 9$ を満たす関数 $F(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$F'(x)$ を積分して $F(x)$ を求めます。

$F(x) = \int F'(x) dx = \int (9x^2 - 4x + 5) dx$

$F(x) = \int 9x^2 dx - \int 4x dx + \int 5 dx$

$F(x) = 9 \int x^2 dx - 4 \int x dx + 5 \int dx$

$F(x) = 9 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C$

$F(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。次に、条件 $F(1) = 9$ を用いて $C$ を求めます。

$F(1) = 3(1)^3 - 2(1)^2 + 5(1) + C = 9$

$3 - 2 + 5 + C = 9$

$6 + C = 9$

$C = 9 - 6 = 3$

したがって、$F(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x + 3$

3. 最終的な答え

$F(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x + 3$