次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{4} (2x^2 + 4x) dx + \int_{0}^{4} (x^2 - 5) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{4} (2x^2 + 4x) dx + \int_{0}^{4} (x^2 - 5) dx$

2. 解き方の手順

まず、二つの積分をまとめます。

$\int_{0}^{4} (2x^2 + 4x + x^2 - 5) dx = \int_{0}^{4} (3x^2 + 4x - 5) dx$

次に、積分を計算します。

$\int (3x^2 + 4x - 5) dx = x^3 + 2x^2 - 5x + C$

したがって、定積分は次のようになります。

$\int_{0}^{4} (3x^2 + 4x - 5) dx = [x^3 + 2x^2 - 5x]_{0}^{4}$

積分の上端の値を代入します。

$4^3 + 2(4^2) - 5(4) = 64 + 32 - 20 = 76$

積分の下端の値を代入します。

$0^3 + 2(0^2) - 5(0) = 0$

したがって、定積分の値は次のようになります。

$76 - 0 = 76$

3. 最終的な答え

76