$t = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ という関数において、$0 \leq x < 2\pi$ のとき、$t$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$t = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ という関数において、$0 \leq x < 2\pi$ のとき、$t$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の範囲から、$x + \frac{\pi}{4}$ の範囲を求めます。

$0 \leq x < 2\pi$ に $\frac{\pi}{4}$ を加えると、

$\frac{\pi}{4} \leq x + \frac{\pi}{4} < 2\pi + \frac{\pi}{4}$

つまり、

$\frac{\pi}{4} \leq x + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$

となります。

次に、$\sin(x + \frac{\pi}{4})$ の取りうる値の範囲を考えます。

$x + \frac{\pi}{4}$ が $\frac{\pi}{4}$ から $\frac{9\pi}{4}$ まで変化するとき、$y = \sin(x + \frac{\pi}{4})$ は、-1から1までの値を少なくとも一度は取ります。実際には、$\frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$ であるため、$x + \frac{\pi}{4}$ はちょうど一周期分動きます。したがって、$\sin(x + \frac{\pi}{4})$ の取りうる値の範囲は $-1 \leq \sin(x + \frac{\pi}{4}) \leq 1$ となります。

最後に、$t = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ の取りうる値の範囲を求めます。

$-1 \leq \sin(x + \frac{\pi}{4}) \leq 1$ の各辺に $\sqrt{2}$ を掛けると、

$-\sqrt{2} \leq \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{2}$

したがって、$-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$