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定積分 $\int_{1}^{3} (\frac{x^2}{11} - \frac{1}{11}) dx$ を計算します。

解析学定積分積分計算
2025/4/7

1. 問題の内容

定積分 ∫13(x211−111)dx\int_{1}^{3} (\frac{x^2}{11} - \frac{1}{11}) dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。
∫13(x211−111)dx=111∫13(x2−1)dx\int_{1}^{3} (\frac{x^2}{11} - \frac{1}{11}) dx = \frac{1}{11} \int_{1}^{3} (x^2 - 1) dx
∫(x2−1)dx=x33−x+C\int (x^2 - 1) dx = \frac{x^3}{3} - x + C
したがって、
111∫13(x2−1)dx=111[x33−x]13\frac{1}{11} \int_{1}^{3} (x^2 - 1) dx = \frac{1}{11} [\frac{x^3}{3} - x]_{1}^{3}
次に、積分区間の上限と下限を代入して計算します。
111[(333−3)−(133−1)]=111[(9−3)−(13−1)]=111[6−(−23)]=111[6+23]=111[183+23]=111[203]=2033\frac{1}{11} [(\frac{3^3}{3} - 3) - (\frac{1^3}{3} - 1)] = \frac{1}{11} [(9 - 3) - (\frac{1}{3} - 1)] = \frac{1}{11} [6 - (-\frac{2}{3})] = \frac{1}{11} [6 + \frac{2}{3}] = \frac{1}{11} [\frac{18}{3} + \frac{2}{3}] = \frac{1}{11} [\frac{20}{3}] = \frac{20}{33}

3. 最終的な答え

2033\frac{20}{33}

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