定積分 $\int_{1}^{3} (\frac{x^2}{11} - \frac{1}{11}) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{3} (\frac{x^2}{11} - \frac{1}{11}) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

$\int_{1}^{3} (\frac{x^2}{11} - \frac{1}{11}) dx = \frac{1}{11} \int_{1}^{3} (x^2 - 1) dx$

$\int (x^2 - 1) dx = \frac{x^3}{3} - x + C$

したがって、

$\frac{1}{11} \int_{1}^{3} (x^2 - 1) dx = \frac{1}{11} [\frac{x^3}{3} - x]_{1}^{3}$

次に、積分区間の上限と下限を代入して計算します。

$\frac{1}{11} [(\frac{3^3}{3} - 3) - (\frac{1^3}{3} - 1)] = \frac{1}{11} [(9 - 3) - (\frac{1}{3} - 1)] = \frac{1}{11} [6 - (-\frac{2}{3})] = \frac{1}{11} [6 + \frac{2}{3}] = \frac{1}{11} [\frac{18}{3} + \frac{2}{3}] = \frac{1}{11} [\frac{20}{3}] = \frac{20}{33}$

3. 最終的な答え

$\frac{20}{33}$