与えられた不定積分 $\int 5x^2 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int 5x^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

不定積分の基本公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし $n \neq -1$, $C$は積分定数) を用います。

まず、定数倍の性質から、積分記号の外に定数 $5$ を出します。

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\int 5x^2 dx = 5 \int x^2 dx

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次に、$x^2$ の積分を計算します。$n=2$ なので、

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\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C

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したがって、

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5 \int x^2 dx = 5 \left(\frac{x^3}{3} + C \right) = \frac{5}{3}x^3 + 5C

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積分定数 $5C$ も単なる定数なので、改めて $C$ と書くことにします。

3. 最終的な答え

$\frac{5}{3}x^3 + C$