関数 $f(x)$ が $ f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases} $ で定義されているとき、$f(x)$ が微分可能であることを示す。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が

$ f(x) = \begin{cases}

x^2 \sin(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\

0 & (x = 0)

\end{cases} $

で定義されているとき、$f(x)$ が微分可能であることを示す。

2. 解き方の手順

$x \neq 0$ のとき、$f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x})$ は、$x^2$ と $\sin(\frac{1}{x})$ がともに微分可能であるから、微分可能である。

$x=0$ のとき、$f(x)$ が微分可能であることを示すためには、微分係数の定義に従って、$x=0$ における微分係数を求める必要がある。

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 0}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(\frac{1}{h})}{h}$

$= \lim_{h \to 0} h \sin(\frac{1}{h})$

ここで、$-1 \leq \sin(\frac{1}{h}) \leq 1$ であるから、

$-|h| \leq h \sin(\frac{1}{h}) \leq |h|$

$\lim_{h \to 0} -|h| = 0$ かつ $\lim_{h \to 0} |h| = 0$ なので、はさみうちの原理より、

$\lim_{h \to 0} h \sin(\frac{1}{h}) = 0$

したがって、$f'(0) = 0$ である。

$x \neq 0$ における微分は、

$f'(x) = 2x\sin(\frac{1}{x}) + x^2\cos(\frac{1}{x})(-\frac{1}{x^2})$

$f'(x) = 2x\sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x})$

3. 最終的な答え

関数 $f(x)$ は $x=0$ を含めて微分可能である。