次の不定積分を求めよ: $\int (-10x^4 - 12x^3 + 8x^2 + 7x - 1) dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ:

$\int (-10x^4 - 12x^3 + 8x^2 + 7x - 1) dx$

2. 解き方の手順

不定積分は、各項ごとに積分を計算し、最後に積分定数 $C$ を加えることで求められます。

各項の積分は、$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ の公式を使って計算します。

* $\int -10x^4 dx = -10 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = -10 \cdot \frac{x^5}{5} = -2x^5$

* $\int -12x^3 dx = -12 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = -12 \cdot \frac{x^4}{4} = -3x^4$

* $\int 8x^2 dx = 8 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 8 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{8}{3}x^3$

* $\int 7x dx = 7 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 7 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{7}{2}x^2$

* $\int -1 dx = -x$

したがって、

$\int (-10x^4 - 12x^3 + 8x^2 + 7x - 1) dx = -2x^5 - 3x^4 + \frac{8}{3}x^3 + \frac{7}{2}x^2 - x + C$

3. 最終的な答え

$-2x^5 - 3x^4 + \frac{8}{3}x^3 + \frac{7}{2}x^2 - x + C$