与えられた定積分を計算する問題です。積分する関数は $5x^2 - 3x + t^2 - 2t$ で、積分変数は $x$ です。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。積分する関数は $5x^2 - 3x + t^2 - 2t$ で、積分変数は $x$ です。

2. 解き方の手順

積分を実行します。定積分の範囲が示されていませんので、不定積分を求めることになります。

積分は各項ごとに計算できます。

$\int (5x^2 - 3x + t^2 - 2t) dx = \int 5x^2 dx - \int 3x dx + \int (t^2 - 2t) dx$

各項を積分します。ここで、$t$ は $x$ に関する定数とみなされます。

$\int 5x^2 dx = 5 \int x^2 dx = 5 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{5}{3}x^3$

$\int 3x dx = 3 \int x dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3}{2}x^2$

$\int (t^2 - 2t) dx = (t^2 - 2t) \int dx = (t^2 - 2t)x$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int (5x^2 - 3x + t^2 - 2t) dx = \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + (t^2 - 2t)x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + (t^2 - 2t)x + C$