次の不定積分を求めます。ただし、$t$は$x$に無関係とします。 $$\int (12x^3 + 6x^2 - x - 4t^3) dx$$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。ただし、$t$は$x$に無関係とします。

$$\int (12x^3 + 6x^2 - x - 4t^3) dx$$

2. 解き方の手順

不定積分の性質を利用して、各項ごとに積分を行います。

$$\int (12x^3 + 6x^2 - x - 4t^3) dx = \int 12x^3 dx + \int 6x^2 dx - \int x dx - \int 4t^3 dx$$

$x^n$の積分は $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （$C$は積分定数）です。

$\int 12x^3 dx = 12 \int x^3 dx = 12 \cdot \frac{x^4}{4} = 3x^4$

$\int 6x^2 dx = 6 \int x^2 dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3$

$\int x dx = \frac{x^2}{2}$

$\int 4t^3 dx = 4t^3 \int dx = 4t^3 x$

したがって、

$$\int (12x^3 + 6x^2 - x - 4t^3) dx = 3x^4 + 2x^3 - \frac{x^2}{2} - 4t^3x + C$$

ここで、$C$は積分定数です。

3. 最終的な答え

$$3x^4 + 2x^3 - \frac{x^2}{2} - 4t^3x + C$$