与えられた条件 $F'(x) = 9x^2 + 2x - 3$ と $F(-1) = 5$ を満たす関数 $F(x)$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた条件 $F'(x) = 9x^2 + 2x - 3$ と $F(-1) = 5$ を満たす関数 $F(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$F'(x)$ を積分して $F(x)$ を求めます。その後、$F(-1) = 5$ の条件を使って積分定数を決定します。

ステップ1：$F'(x)$ を積分する。

$F'(x) = 9x^2 + 2x - 3$ の積分は次のようになります。

$$F(x) = \int (9x^2 + 2x - 3) \, dx = 3x^3 + x^2 - 3x + C$$

ここで、$C$ は積分定数です。

ステップ2：$F(-1) = 5$ の条件を使って積分定数 $C$ を求める。

$F(-1) = 3(-1)^3 + (-1)^2 - 3(-1) + C = -3 + 1 + 3 + C = 1 + C$

$F(-1) = 5$ なので、$1 + C = 5$ が成り立ち、$C = 4$ が得られます。

ステップ3：求めた積分定数 $C$ を用いて $F(x)$ を完成させる。

$F(x) = 3x^3 + x^2 - 3x + 4$

3. 最終的な答え

$F(x) = 3x^3 + x^2 - 3x + 4$