関数 $f(x) = 2x^3 - 3ax^2 + b$ について、$0 < a < 2$ のとき、$0 \le x \le 3$ の範囲における $f(x)$ の最大値を $a, b$ で表し、その最大値が $10$、最小値が $-18$ のときの $(a, b)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^3 - 3ax^2 + b$ について、$0 < a < 2$ のとき、$0 \le x \le 3$ の範囲における $f(x)$ の最大値を $a, b$ で表し、その最大値が $10$、最小値が $-18$ のときの $(a, b)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = 6x^2 - 6ax = 6x(x - a)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0$ または $x = a$ のときです。

$0 < a < 2$ なので、$0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の増減表は次のようになります。

| x | 0 | ... | a | ... | 3 |

|------|-------|-------|-------|-------|-------|

| f'(x) | 0 | - | 0 | + | |

| f(x) | b | 減少 | 極小値| 増加 | f(3) |

$f(0) = b$

$f(a) = 2a^3 - 3a^3 + b = -a^3 + b$

$f(3) = 2(3^3) - 3a(3^2) + b = 54 - 27a + b$

ここで、$0 < a < 2$ に注意すると、$-a^3+b < b$ であり、最小値が $-18$ なので、

$-a^3 + b = -18$ が成り立つ。

また、最大値が $10$ であることより、$b=10$ または $54-27a+b=10$ が成り立つ。

(i) $b = 10$ のとき、$-a^3 + 10 = -18$ より、$a^3 = 28$ となるが、$a < 2$ より、$a^3 < 8$ なので、これは不適。

(ii) $54 - 27a + b = 10$ のとき、$b = 10$ ならば、$54 - 27a + 10 = 10$ より、$54 - 27a = 0$ となり、$a = 2$ となるが、$0 < a < 2$ なので、これは不適。

よって、$f(3)$ が最大値 $10$ となり、最小値は $f(a)=-18$ であり、$f(0) =b$ は最大値にならない。

$f(0)=b < 10$でなければならない。

$f(a)=-a^3+b=-18$

$f(3)=54-27a+b=10$

$b=10-54+27a=-44+27a$

$-a^3-44+27a=-18$

$a^3-27a+26=0$

$(a-1)(a^2+a-26)=0$

$a=1$ または $a = \frac{-1 \pm \sqrt{105}}{2}$

$0 < a < 2$ より、$a = 1$。

$b = -44 + 27(1) = -17$

$f(0) = -17, f(1) = -18, f(3) = 10$ となり、条件を満たす。

3. 最終的な答え

(a, b) = (1, -17)