次の定積分を計算します。 $\int_{-1}^{-4} (7x^2 - 5x - 9) dx + \int_{4}^{-1} (7x^2 - 5x - 9) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{-1}^{-4} (7x^2 - 5x - 9) dx + \int_{4}^{-1} (7x^2 - 5x - 9) dx$

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用して、積分区間をまとめます。

$\int_{a}^{b} f(x) dx = - \int_{b}^{a} f(x) dx$

よって、

$\int_{4}^{-1} (7x^2 - 5x - 9) dx = - \int_{-1}^{4} (7x^2 - 5x - 9) dx$

与えられた式は、

$\int_{-1}^{-4} (7x^2 - 5x - 9) dx - \int_{-1}^{4} (7x^2 - 5x - 9) dx$

ここで、定積分の性質 $\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$ を利用するために、$\int_{-1}^{-4} (7x^2 - 5x - 9) dx = - \int_{-4}^{-1} (7x^2 - 5x - 9) dx$ と変形します。

$- \int_{-4}^{-1} (7x^2 - 5x - 9) dx - \int_{-1}^{4} (7x^2 - 5x - 9) dx$

$= - \left( \int_{-4}^{-1} (7x^2 - 5x - 9) dx + \int_{-1}^{4} (7x^2 - 5x - 9) dx \right)$

$= - \int_{-4}^{4} (7x^2 - 5x - 9) dx$

ここで、関数 $f(x) = 7x^2 - 5x - 9$ について、偶関数と奇関数に分けます。

$7x^2$ は偶関数、$-5x$ は奇関数、$-9$ は偶関数です。

偶関数の積分は $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$、奇関数の積分は $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ です。

よって、

$- \int_{-4}^{4} (7x^2 - 5x - 9) dx = - \int_{-4}^{4} 7x^2 dx + \int_{-4}^{4} 5x dx + \int_{-4}^{4} 9 dx$

$= - 2 \int_{0}^{4} 7x^2 dx + 0 - 2 \int_{0}^{4} 9 dx$

$= - 14 \int_{0}^{4} x^2 dx - 18 \int_{0}^{4} dx$

$= - 14 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} - 18 \left[ x \right]_{0}^{4}$

$= - 14 \left( \frac{4^3}{3} - 0 \right) - 18 (4 - 0)$

$= - 14 \cdot \frac{64}{3} - 18 \cdot 4$

$= - \frac{896}{3} - 72$

$= - \frac{896}{3} - \frac{216}{3}$

$= - \frac{1112}{3}$

3. 最終的な答え

-1112/3