## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

(1) $90^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\sin\theta = \frac{3}{5}$ である。このとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。

(2) $0^\circ < \theta < 90^\circ$ のとき、$\tan\theta = 2$ である。このとき、$\cos\theta$ と $\cos(90^\circ + \theta)$ の値を求めよ。

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2. 解き方の手順

(1)

* 三角関数の基本公式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用する。$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を変形し、$\cos \theta$ を求めます。

* $90^\circ < \theta < 180^\circ$ であるから、$\cos\theta < 0$ であることに注意する。

* $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を利用して、$\tan\theta$ を求める。

(2)

* $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ より、$\sin\theta = 2\cos\theta$。

* 三角関数の基本公式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用して、$\cos\theta$ を求める。

* $0^\circ < \theta < 90^\circ$ であるから、$\cos\theta > 0$ であることに注意する。

* $\cos(90^\circ + \theta) = -\sin\theta$ であることを利用して、$\cos(90^\circ + \theta)$ を求める。

(1)

$\sin\theta = \frac{3}{5}$ より、

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$90^\circ < \theta < 180^\circ$ であるから、$\cos\theta < 0$。

したがって、

$\cos\theta = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$

(2)

$\tan\theta = 2$ より、$\sin\theta = 2\cos\theta$。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ に代入すると、

$(2\cos\theta)^2 + \cos^2\theta = 1$

$4\cos^2\theta + \cos^2\theta = 1$

$5\cos^2\theta = 1$

$\cos^2\theta = \frac{1}{5}$

$0^\circ < \theta < 90^\circ$ であるから、$\cos\theta > 0$。

したがって、

$\cos\theta = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos(90^\circ + \theta) = -\sin\theta = -2\cos\theta = -2 \times \frac{\sqrt{5}}{5} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

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3. 最終的な答え

(1) $\cos\theta = -\frac{4}{5}$, $\tan\theta = -\frac{3}{4}$

(2) $\cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$, $\cos(90^\circ + \theta) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$