3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ が極値を持つための条件を求めます。 (2) $x = -1$ と $x = 3$ で極値を持ち、曲線 $y = f(x)$ が点 $(2, -12)$ を通るとき、$f(x)$ を求めます。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f(x)$ が極値を持つための条件を求めます。

(2) $x = -1$ と $x = 3$ で極値を持ち、曲線 $y = f(x)$ が点 $(2, -12)$ を通るとき、$f(x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が極値を持つための条件は、$f'(x) = 0$ となる $x$ が少なくとも2つ存在すること、つまり、$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つことです。まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D$ が正である必要があります。

$D = (2a)^2 - 4(3)(b) = 4a^2 - 12b$

したがって、 $4a^2 - 12b > 0$ より $a^2 > 3b$ が極値を持つための条件です。

(2) $x = -1$ と $x = 3$ で極値を持つので、$f'(-1) = 0$ と $f'(3) = 0$ が成り立ちます。

$f'(-1) = 3(-1)^2 + 2a(-1) + b = 3 - 2a + b = 0$

$f'(3) = 3(3)^2 + 2a(3) + b = 27 + 6a + b = 0$

これらの連立方程式を解きます。

$3 - 2a + b = 0$ より $b = 2a - 3$

$27 + 6a + b = 0$ に代入して $27 + 6a + 2a - 3 = 0$

$8a = -24$ より $a = -3$

$b = 2(-3) - 3 = -9$

したがって、$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + c$ となります。

曲線 $y = f(x)$ が点 $(2, -12)$ を通るので、$f(2) = -12$ が成り立ちます。

$f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 - 9(2) + c = 8 - 12 - 18 + c = -22 + c = -12$

$c = 10$

よって、$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a^2 > 3b$

(2) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10$