円 $x^2 + y^2 = 9$ と直線 $y = \frac{1}{2}x - k$ が共有点を1つ持つとき、定数 $k$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 9$ と直線 $y = \frac{1}{2}x - k$ が共有点を1つ持つとき、定数 $k$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点を1つ持つということは、直線が円に接するという意味です。円の中心から直線までの距離が、円の半径に等しくなる条件を使います。

円の中心は原点$(0, 0)$、半径は $\sqrt{9} = 3$ です。

直線 $y = \frac{1}{2}x - k$ は、変形して $x - 2y - 2k = 0$ となります。

点$(0, 0)$ から直線 $x - 2y - 2k = 0$ までの距離 $d$ は、点と直線の距離の公式より、

$$d = \frac{|1(0) - 2(0) - 2k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-2k|}{\sqrt{5}} = \frac{2|k|}{\sqrt{5}}$$

円と直線が接するとき、$d = 3$ なので、

$$\frac{2|k|}{\sqrt{5}} = 3$$

$$2|k| = 3\sqrt{5}$$

$$|k| = \frac{3\sqrt{5}}{2}$$

したがって、$k = \pm \frac{3\sqrt{5}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$k = \pm \frac{3\sqrt{5}}{2}$