円 $(x+3)^2 + (y-2)^2 = 5$ と直線 $y = 2x+3$ の共有点の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $(x+3)^2 + (y-2)^2 = 5$ と直線 $y = 2x+3$ の共有点の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

円と直線の共有点の個数を求めるには、円の方程式に直線の式を代入してできる二次方程式の判別式を調べます。

ステップ1: 円の方程式に直線の式を代入します。

$y = 2x+3$ を $(x+3)^2 + (y-2)^2 = 5$ に代入すると、

$(x+3)^2 + (2x+3-2)^2 = 5$

$(x+3)^2 + (2x+1)^2 = 5$

ステップ2: 式を展開して整理します。

$x^2 + 6x + 9 + 4x^2 + 4x + 1 = 5$

$5x^2 + 10x + 10 = 5$

$5x^2 + 10x + 5 = 0$

ステップ3: 二次方程式を簡略化します。

両辺を5で割ると、

$x^2 + 2x + 1 = 0$

ステップ4: 判別式を計算します。

この二次方程式の判別式を $D$ とすると、$D = b^2 - 4ac$ より

$D = 2^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0$

ステップ5: 判別式から共有点の個数を判断します。

$D = 0$ なので、共有点は1個です。

3. 最終的な答え

1個