円 $x^2 + y^2 = 9$ と直線 $y = -x + k$ が共有点を持つときの、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 9$ と直線 $y = -x + k$ が共有点を持つときの、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点を持つ条件は、円の中心と直線の距離が円の半径以下であることです。

円 $x^2 + y^2 = 9$ の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $3$ です。

直線 $y = -x + k$ は、一般形に変形すると $x + y - k = 0$ となります。

点 $(0, 0)$ と直線 $x + y - k = 0$ の距離 $d$ は、以下の公式で求められます。

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

この場合、$A = 1$, $B = 1$, $C = -k$, $x_0 = 0$, $y_0 = 0$ であるので、

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - k|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-k|}{\sqrt{2}} = \frac{|k|}{\sqrt{2}}$

円と直線が共有点を持つ条件は、$d \leq 3$ であるので、

$\frac{|k|}{\sqrt{2}} \leq 3$

$|k| \leq 3\sqrt{2}$

$-3\sqrt{2} \leq k \leq 3\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$-3\sqrt{2} \leq k \leq 3\sqrt{2}$ より、

$-3\sqrt{2},3\sqrt{2}$