三角形ABCにおいて、$AC = 3\sqrt{6}$、$\angle A = 45^\circ$、$\angle B = 60^\circ$であるとき、外接円の半径$R$と辺$BC$の長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AC = 3\sqrt{6}$、$\angle A = 45^\circ$、$\angle B = 60^\circ$であるとき、外接円の半径$R$と辺$BC$の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理を用いて外接円の半径$R$を求めます。正弦定理は、三角形の辺の長さとその対角の正弦の比が、外接円の直径に等しいという定理です。

つまり、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

ここで、$a, b, c$は三角形の各辺の長さ、$A, B, C$は各角の大きさ、$R$は外接円の半径です。

与えられた情報から、$b = AC = 3\sqrt{6}$、$A = 45^\circ$なので、

$\frac{AC}{\sin B} = 2R$

$\frac{3\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} = 2R$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$\frac{3\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{3\sqrt{6} \times 2}{\sqrt{3}} = 2R$

$\frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2R$

$6\sqrt{\frac{6}{3}} = 2R$

$6\sqrt{2} = 2R$

$R = 3\sqrt{2}$

次に、角$C$の大きさを求めます。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$

再度、正弦定理を用いて$BC$の長さを求めます。

$\frac{BC}{\sin A} = 2R$

$\frac{BC}{\sin 45^\circ} = 2 \times 3\sqrt{2}$

$\frac{BC}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 6\sqrt{2}$

$BC = 6\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}}$

$BC = 6$

3. 最終的な答え

外接円の半径$R = 3\sqrt{2}$

$BC = 6$