問題は4つの式を与えられ、指定された文字について降べきの順に整理することです。 (1) は $x$ について整理します。 (2) は $z$ について整理します。 (3) は $a$ について整理します。 (4) は $a$ について整理します。

1. 問題の内容

問題は4つの式を与えられ、指定された文字について降べきの順に整理することです。

(1) は $x$ について整理します。

(2) は $z$ について整理します。

(3) は $a$ について整理します。

(4) は $a$ について整理します。

2. 解き方の手順

(1) $x$ について整理します。

与えられた式は $3x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 3 - x^4 + 9x^3 - 4$ です。

$x$ の次数の高い順に項を並べ、同類項をまとめます。

$3x^4 - x^4 - 4x^3 + 9x^3 + 6x^2 - 4x + 3 - 4$

$(3-1)x^4 + (-4+9)x^3 + 6x^2 - 4x + (3-4)$

$2x^4 + 5x^3 + 6x^2 - 4x - 1$

(2) $z$ について整理します。

与えられた式は $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx$ です。

$z$ の次数の高い順に項を並べます。

$z^2 - zx - yz + x^2 + y^2 - xy$

$z^2 - (x+y)z + (x^2 - xy + y^2)$

(3) $a$ について整理します。

与えられた式は $x^4 - 4x^3 + (a+4)x^2 - 2ax$ です。

$x^4 - 4x^3 + ax^2 + 4x^2 - 2ax$

$a$ の次数の高い順に項を並べます。

$ax^2 - 2ax + x^4 - 4x^3 + 4x^2$

$(x^2 - 2x)a + (x^4 - 4x^3 + 4x^2)$

(4) $a$ について整理します。

与えられた式は $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ です。

展開します。

$a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

$a$ の次数の高い順に項を並べます。

$(b-c)a^2 + (c^2-b^2)a + (b^2c-c^2b)$

$(b-c)a^2 + (c-b)(c+b)a + bc(b-c)$

$(b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c)$

$(b-c)(a^2 - (b+c)a + bc)$

$(b-c)(a-b)(a-c)$

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

$(b-c)a^2 - (b^2+bc+c^2-bc)a+(b^2 c-b c^2)$

$(b-c)a^2 - (b^2+c^2)a+bc(b-c)$

$(b-c) a^2 - (b^2-c^2) a + (b^2c - bc^2) = (b-c)a^2 -(b+c)(b-c)a + bc(b-c)$

$(b-c)(a^2 - (b+c)a + bc) = (b-c)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$.

$(b-c)a^2 + (c^2-b^2)a + b^2c - c^2b = (b-c)a^2 - (b^2 - c^2)a + bc(b-c)$

$=(b-c)a^2 - (b+c)(b-c) a+bc(b-c)$.

$=(b-c)[a^2 - (b+c) a + bc] = (b-c)[(a-b)(a-c)] = (b-c)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$.

$(b-c) a^2 - (b^2-c^2) a + bc (b-c)$

したがって、$a$ について整理すると、

$(b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + (b^2c - bc^2)$

3. 最終的な答え

(1) $2x^4 + 5x^3 + 6x^2 - 4x - 1$

(2) $z^2 - (x+y)z + (x^2 - xy + y^2)$

(3) $(x^2 - 2x)a + (x^4 - 4x^3 + 4x^2)$

(4) $(b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + b^2c - c^2b$

または

(4) $(b-c)a^2 - (b+c)(b-c)a + bc(b-c)$

または

(4) $(b-c)(a-b)(a-c)$

または

(4) $-(a-b)(b-c)(c-a)$