三角形ABCにおいて、以下の問題を解きます。 (1) AB=10, BC=8, 角B=120°のとき、CAを求めます。 (2) BC=√3, CA=√7, 角B=30°のとき、ABを求めます。 (3) AB=√3+1, BC=2, CA=√6のとき、角A, 角B, 角Cを求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の問題を解きます。

(1) AB=10, BC=8, 角B=120°のとき、CAを求めます。

(2) BC=√3, CA=√7, 角B=30°のとき、ABを求めます。

(3) AB=√3+1, BC=2, CA=√6のとき、角A, 角B, 角Cを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いてCAを求めます。

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)cosB$

$CA^2 = 10^2 + 8^2 - 2(10)(8)cos120°$

$CA^2 = 100 + 64 - 160(-1/2)$

$CA^2 = 164 + 80$

$CA^2 = 244$

$CA = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}$

(2) 余弦定理を用いてABを求めます。

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)cosB$

$7 = AB^2 + 3 - 2(AB)(\sqrt{3})cos30°$

$7 = AB^2 + 3 - 2(AB)(\sqrt{3})(\sqrt{3}/2)$

$7 = AB^2 + 3 - 3AB$

$AB^2 - 3AB - 4 = 0$

$(AB - 4)(AB + 1) = 0$

$AB = 4, -1$

ABは正なので、$AB = 4$

(3) 余弦定理を用いて角A, 角B, 角Cを求めます。

まず、角Aを求める。

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2(AB)(CA)cosA$

$2^2 = (\sqrt{3}+1)^2 + (\sqrt{6})^2 - 2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{6})cosA$

$4 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 + 6 - 2(\sqrt{18} + \sqrt{6})cosA$

$4 = 10 + 2\sqrt{3} - 2(3\sqrt{2} + \sqrt{6})cosA$

$-6 - 2\sqrt{3} = -2(3\sqrt{2} + \sqrt{6})cosA$

$3 + \sqrt{3} = (3\sqrt{2} + \sqrt{6})cosA$

$cosA = \frac{3 + \sqrt{3}}{3\sqrt{2} + \sqrt{6}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{6}(3 + \sqrt{3})} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

$A = 65.91° \approx 66°$

次に角Bを求める。

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)cosB$

$(\sqrt{6})^2 = (\sqrt{3}+1)^2 + 2^2 - 2(\sqrt{3}+1)(2)cosB$

$6 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 + 4 - 4(\sqrt{3}+1)cosB$

$6 = 8 + 2\sqrt{3} - 4(\sqrt{3}+1)cosB$

$-2 - 2\sqrt{3} = -4(\sqrt{3}+1)cosB$

$2 + 2\sqrt{3} = 4(\sqrt{3}+1)cosB$

$cosB = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{4(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{4(\sqrt{3}+1)} = \frac{1}{2}$

$B = 60°$

最後に角Cを求める。

$C = 180 - A - B$

$C = 180 - 66 - 60 = 54°$

3. 最終的な答え

(1) $CA = 2\sqrt{61}$

(2) $AB = 4$

(3) $A = 66°$, $B = 60°$, $C = 54°$