関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + (a+2)x + 1$ が極値を持つための実数 $a$ の条件を求める問題です。具体的には、$a < [31][32]$, $[33] < a$ の $[31]$, $[32]$, $[33]$ を埋めることになります。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + (a+2)x + 1$ が極値を持つための実数 $a$ の条件を求める問題です。具体的には、$a < [31][32]$, $[33] < a$ の $[31]$, $[32]$, $[33]$ を埋めることになります。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が極値を持つためには、$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つ必要があります。

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = x^2 + 2ax + (a+2)$

$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 $D$ が正であることです。

$D = (2a)^2 - 4(1)(a+2) > 0$

$4a^2 - 4a - 8 > 0$

$a^2 - a - 2 > 0$

$(a-2)(a+1) > 0$

この不等式を解くと、$a < -1$ または $2 < a$ となります。

したがって、$a < -1$, $2 < a$ となります。

3. 最終的な答え

$a < -1$, $2 < a$